Trojúhelník 5 6 8
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 6
c = 8
Obsah trojúhelníku: S = 14,98112382666
Obvod trojúhelníku: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Úhel ∠ A = α = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad
Úhel ∠ B = β = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 0,84766449633 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,62108171836 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,99224953066
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,99437460889
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,74553095666
Těžnice: ta = 6,61443782777
Těžnice: tb = 5,95881876439
Těžnice: tc = 3,80878865529
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,57769724491
Poloměr opsané kružnice: R = 4,00550093946
Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[3,31325; 3,74553095666]
Těžiště: T[3,77108333333; 1,24884365222]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -0.22002504697]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,57769724491]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad
∠ B' = β' = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 0,84766449633 rad
∠ C' = γ' = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,62108171836 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=6 c=8
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+6+8=19
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−5)(9,5−6)(9,5−8) S=224,44=14,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 14,98=5,99 vb=b2 S=62⋅ 14,98=4,99 vc=c2 S=82⋅ 14,98=3,75
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 862+82−52)=38°37′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 852+82−62)=48°30′33" γ=180°−α−β=180°−38°37′29"−48°30′33"=92°51′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=9,514,98=1,58
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,577⋅ 9,55⋅ 6⋅ 8=4,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 82−52=6,614 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 52−62=5,958 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 62−82=3,808
Vypočítat další trojúhelník