Trojúhelník 5 6 9
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 6
c = 9
Obsah trojúhelníku: S = 14,14221356237
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Úhel ∠ A = α = 31,58663380965° = 31°35'11″ = 0,55112855984 rad
Úhel ∠ B = β = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,91106332362 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,65768542495
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,71440452079
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,14326968053
Těžnice: ta = 7,22884161474
Těžnice: tb = 6,63332495807
Těžnice: tc = 3,20215621187
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,41442135624
Poloměr opsané kružnice: R = 4,7732970773
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,88988888889; 3,14326968053]
Těžiště: T[4,29662962963; 1,04875656018]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -1,59109902577]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,41442135624]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,41436619035° = 148°24'49″ = 0,55112855984 rad
∠ B' = β' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ C' = γ' = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,91106332362 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=6 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+6+9=20
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−5)(10−6)(10−9) S=200=14,14
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 14,14=5,66 vb=b2 S=62⋅ 14,14=4,71 vc=c2 S=92⋅ 14,14=3,14
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−52)=31°35′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 952+92−62)=38°56′33" γ=180°−α−β=180°−31°35′11"−38°56′33"=109°28′16"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1014,14=1,41
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,414⋅ 105⋅ 6⋅ 9=4,77
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 92−52=7,228 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 52−62=6,633 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 62−92=3,202
Vypočítat další trojúhelník