Trojúhelník 5 9 10

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 9
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 22,45499443206
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Úhel ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Úhel ∠ B = β = 63,89661188627° = 63°53'46″ = 1,11551976534 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,98799777283
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,98988765157
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,49899888641

Těžnice: t_a = 9,17987798753
Těžnice: t_b = 6,5
Těžnice: t_c = 5,29215026221

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,87108286934
Poloměr opsané kružnice: R = 5,01111482859

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,2; 4,49899888641]
Těžiště: T[4,06766666667; 1,49766629547]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,33440765524]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,87108286934]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 116,10438811373° = 116°6'14″ = 1,11551976534 rad
∠ C' = γ' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 9 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 9 + 10 = 24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4}{2} = 12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12 (12 - 5) (12 - 9) (12 - 10) S = 504 = 22, 45

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{5} = 8, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{9} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{1 0} = 4, 49

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 29 ° 5 5^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0}) = 63 ° 5 3^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 5^{'} 35 " - 63 ° 5 3^{'} 46 " = 86 ° 1 0^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 4 5}{1 2} = 1, 87

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 8 7 1 \cdot 1 2} = 5, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 179 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 292

Vypočítat další trojúhelník