Trojúhelník 5 9 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 9
c = 11
Obsah trojúhelníku: S = 22,18552991866
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 26,6277478393° = 26°37'39″ = 0,46547371695 rad
Úhel ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,87441196746
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,93300664859
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,03436907612
Těžnice: ta = 9,7343961167
Těžnice: tb = 7,26329195232
Těžnice: tc = 4,77696960071
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,77548239349
Poloměr opsané kružnice: R = 5,57880180812
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,95545454545; 4,03436907612]
Těžiště: T[4,65215151515; 1,34545635871]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -0,93296696802]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,77548239349]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,3732521607° = 153°22'21″ = 0,46547371695 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=9 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+9+11=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−5)(12,5−9)(12,5−11) S=492,19=22,19
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 22,19=8,87 vb=b2 S=92⋅ 22,19=4,93 vc=c2 S=112⋅ 22,19=4,03
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−52)=26°37′39" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−92)=53°46′42" γ=180°−α−β=180°−26°37′39"−53°46′42"=99°35′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,522,19=1,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,775⋅ 12,55⋅ 9⋅ 11=5,58
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−52=9,734 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−92=7,263 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 92−112=4,77
Vypočítat další trojúhelník