Trojúhelník 5.03 1.3 5.2

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,03
b = 1,3
c = 5,2

Obsah trojúhelníku: S = 3,26994769573
Obvod trojúhelníku: o = 11,53
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,765

Úhel ∠ A = α = 75,3077480486° = 75°18'27″ = 1,31443634859 rad
Úhel ∠ B = β = 14,47774079233° = 14°28'39″ = 0,25326784354 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,21551115907° = 90°12'54″ = 1,57545507323 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1.32999908379
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,03299645497
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,25774911374

Těžnice: t_a = 2,83554496998
Těžnice: t_b = 5,0744243786
Těžnice: t_c = 2,5955274552

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,56771252311
Poloměr opsané kružnice: R = 2.66000183243

Souřadnice vrcholů: A[5,2; 0] B[0; 0] C[4,87702788462; 1,25774911374]
Těžiště: T[3,35767596154; 0,41991637125]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,6; -0,01097615002]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,465; 0,56771252311]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 104,6932519514° = 104°41'33″ = 1,31443634859 rad
∠ B' = β' = 165,52325920767° = 165°31'21″ = 0,25326784354 rad
∠ C' = γ' = 89,78548884093° = 89°47'6″ = 1,57545507323 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 03 b = 1, 3 c = 5, 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 03 + 1, 3 + 5, 2 = 11, 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 5 3}{2} = 5, 77

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 77 (5, 77 - 5, 03) (5, 77 - 1, 3) (5, 77 - 5, 2) S = 10, 69 = 3, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 , 2 7}{5 , 0 3} = 1, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 , 2 7}{1 , 3} = 5, 03 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 , 2 7}{5 , 2} = 1, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 3 ^{2} + 5 , 2 ^{2} - 5 , 0 3 ^{2}}{2 \cdot 1 , 3 \cdot 5 , 2}) = 75 ° 1 8^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 0 3 ^{2} + 5 , 2 ^{2} - 1 , 3 ^{2}}{2 \cdot 5 , 0 3 \cdot 5 , 2}) = 14 ° 2 8^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 75 ° 1 8^{'} 27 " - 14 ° 2 8^{'} 39 " = 90 ° 1 2^{'} 54 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 , 2 7}{5 , 7 7} = 0, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 0 3 \cdot 1 , 3 \cdot 5 , 2}{4 \cdot 0 , 5 6 7 \cdot 5 , 7 6 5} = 2, 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 3 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 ^{2} - 5 , 0 3 ^{2}}{2} = 2, 835 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 ^{2} + 2 \cdot 5 , 0 3 ^{2} - 1 , 3 ^{2}}{2} = 5, 074 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 0 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 3 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2} = 2, 595

Vypočítat další trojúhelník