Trojúhelník 5.29 1.1 5.4

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,29
b = 1,1
c = 5,4

Obsah trojúhelníku: S = 2,90994875106
Obvod trojúhelníku: o = 11,79
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,895

Úhel ∠ A = α = 78,41443056804° = 78°24'52″ = 1,36985878148 rad
Úhel ∠ B = β = 11,75435744431° = 11°45'13″ = 0,20551385729 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,83221198765° = 89°49'56″ = 1,56878662659 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1.10999952781
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,2989977292
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,07875879669

Těžnice: t_a = 2,86216385167
Těžnice: t_b = 5,31769116976
Těžnice: t_c = 2,70331555634

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,49435517406
Poloměr opsané kružnice: R = 2.77000115901

Souřadnice vrcholů: A[5,4; 0] B[0; 0] C[5,17990833333; 1,07875879669]
Těžiště: T[3,52663611111; 0,3599195989]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,7; 0,00879111871]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,795; 0,49435517406]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 101,58656943196° = 101°35'8″ = 1,36985878148 rad
∠ B' = β' = 168,24664255569° = 168°14'47″ = 0,20551385729 rad
∠ C' = γ' = 90,16878801235° = 90°10'4″ = 1,56878662659 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 29 b = 1, 1 c = 5, 4

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 29 + 1, 1 + 5, 4 = 11, 79

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 7 9}{2} = 5, 9

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 9 (5, 9 - 5, 29) (5, 9 - 1, 1) (5, 9 - 5, 4) S = 8, 47 = 2, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 2 9} = 1, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{1 , 1} = 5, 29 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 4} = 1, 08

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 1 ^{2} + 5 , 4 ^{2} - 5 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 1 , 1 \cdot 5 , 4}) = 78 ° 2 4^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 2 9 ^{2} + 5 , 4 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 9 \cdot 5 , 4}) = 11 ° 4 5^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 78 ° 2 4^{'} 52 " - 11 ° 4 5^{'} 13 " = 89 ° 4 9^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9 1}{5 , 9} = 0, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 2 9 \cdot 1 , 1 \cdot 5 , 4}{4 \cdot 0 , 4 9 4 \cdot 5 , 8 9 5} = 2, 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 ^{2} + 2 \cdot 5 , 4 ^{2} - 5 , 2 9 ^{2}}{2} = 2, 862 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 4 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 9 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2} = 5, 317 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 , 1 ^{2} - 5 , 4 ^{2}}{2} = 2, 703

Vypočítat další trojúhelník