Trojúhelník 5.4 6 6.6

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,4
b = 6
c = 6,6

Obsah trojúhelníku: S = 15,27435064736
Obvod trojúhelníku: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9

Úhel ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Úhel ∠ B = β = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,65768542495
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,09111688245
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,6288335295

Těžnice: t_a = 5,7
Těžnice: t_b = 5,23106787322
Těžnice: t_c = 4,65772524089

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,69770562748
Poloměr opsané kružnice: R = 3.55001785669

Souřadnice vrcholů: A[6,6; 0] B[0; 0] C[2,78218181818; 4,6288335295]
Těžiště: T[3,12772727273; 1,54327784317]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,3; 1,1676726189]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,69770562748]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 4 b = 6 c = 6, 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 4 + 6 + 6, 6 = 18

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8}{2} = 9

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9 (9 - 5, 4) (9 - 6) (9 - 6, 6) S = 233, 28 = 15, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 , 2 7}{5 , 4} = 5, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 , 2 7}{6} = 5, 09 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 , 2 7}{6 , 6} = 4, 63

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 6 , 6 ^{2} - 5 , 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 6 , 6}) = 50 ° 2 8^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 4 ^{2} + 6 , 6 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 , 4 \cdot 6 , 6}) = 58 ° 5 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 2 8^{'} 44 " - 58 ° 5 9^{'} 33 " = 70 ° 3 1^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 , 2 7}{9} = 1, 7

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 4 \cdot 6 \cdot 6 , 6}{4 \cdot 1 , 6 9 7 \cdot 9} = 3, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 6 , 6 ^{2} - 5 , 4 ^{2}}{2} = 5, 7 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 6 ^{2} + 2 \cdot 5 , 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 5, 231 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 4 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 6 , 6 ^{2}}{2} = 4, 657

Vypočítat další trojúhelník