Trojúhelník 5.7 4 2

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,7
b = 4
c = 2

Obsah trojúhelníku: S = 2.549999875
Obvod trojúhelníku: o = 11,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,85

Úhel ∠ A = α = 141,31878354832° = 141°19'4″ = 2,4666461521 rad
Úhel ∠ B = β = 26,01443520182° = 26°52″ = 0,45440360955 rad
Úhel ∠ C = γ = 12,66878124986° = 12°40'4″ = 0,22110950371 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,87771925439
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,2549999375
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2.549999875

Těžnice: t_a = 1,37702189606
Těžnice: t_b = 3,77442548934
Těžnice: t_c = 4,82113068768

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,42773502137
Poloměr opsané kružnice: R = 4,566000228

Souřadnice vrcholů: A[2; 0] B[0; 0] C[5,12325; 2.549999875]
Těžiště: T[2,37441666667; 0,83333329167]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1; 4,44990022245]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,85; 0,42773502137]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 38,68221645168° = 38°40'56″ = 2,4666461521 rad
∠ B' = β' = 153,98656479818° = 153°59'8″ = 0,45440360955 rad
∠ C' = γ' = 167,33221875014° = 167°19'56″ = 0,22110950371 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 7 b = 4 c = 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 7 + 4 + 2 = 11, 7

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 7}{2} = 5, 85

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 85 (5, 85 - 5, 7) (5, 85 - 4) (5, 85 - 2) S = 6, 25 = 2, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{5 , 7} = 0, 88 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{4} = 1, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{2} = 2, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 ^{2} - 5 , 7 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2}) = 141 ° 1 9^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 7 ^{2} + 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 , 7 \cdot 2}) = 26 ° 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 141 ° 1 9^{'} 4 " - 26 ° 52 " = 12 ° 4 0^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5}{5 , 8 5} = 0, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 7 \cdot 4 \cdot 2}{4 \cdot 0 , 4 2 7 \cdot 5 , 8 5} = 4, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 5 , 7 ^{2}}{2} = 1, 37 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 5 , 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 3, 774 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 7 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 4, 821

Vypočítat další trojúhelník