Trojúhelník 51 56 77

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 51
b = 56
c = 77

Obsah trojúhelníku: S = 1427,19330493104
Obvod trojúhelníku: o = 184
Semiperimeter (poloobvod): s = 92

Úhel ∠ A = α = 41,45497838314° = 41°26'59″ = 0,72334352021 rad
Úhel ∠ B = β = 46,624394476° = 46°37'26″ = 0,81437413463 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,92662714086° = 91°55'35″ = 1,60444161052 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 55,96883548749
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 50,97111803325
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 37,07699493327

Těžnice: t_a = 62,30877041785
Těžnice: t_b = 59
Těžnice: t_c = 37,23223783823

Poloměr vepsané kružnice: r = 15,51329679273
Poloměr opsané kružnice: R = 38,52217683246

Souřadnice vrcholů: A[77; 0] B[0; 0] C[35,0265974026; 37,07699493327]
Těžiště: T[37,3421991342; 12,35766497776]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[38,5; -1,29548493554]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[36; 15,51329679273]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,55502161686° = 138°33'1″ = 0,72334352021 rad
∠ B' = β' = 133,376605524° = 133°22'34″ = 0,81437413463 rad
∠ C' = γ' = 88,07437285914° = 88°4'25″ = 1,60444161052 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 51 b = 56 c = 77

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 51 + 56 + 77 = 184

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 4}{2} = 92

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 92 (92 - 51) (92 - 56) (92 - 77) S = 2036880 = 1427, 19

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{5 1} = 55, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{5 6} = 50, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 2 7 , 1 9}{7 7} = 37, 07

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 6 ^{2} + 7 7 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2 \cdot 5 6 \cdot 7 7}) = 41 ° 2 6^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 1 ^{2} + 7 7 ^{2} - 5 6 ^{2}}{2 \cdot 5 1 \cdot 7 7}) = 46 ° 3 7^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 6^{'} 59 " - 46 ° 3 7^{'} 26 " = 91 ° 5 5^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 2 7 , 1 9}{9 2} = 15, 51

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 1 \cdot 5 6 \cdot 7 7}{4 \cdot 1 5 , 5 1 3 \cdot 9 2} = 38, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 6 ^{2} + 2 \cdot 7 7 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2} = 62, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 7 ^{2} + 2 \cdot 5 1 ^{2} - 5 6 ^{2}}{2} = 59 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 1 ^{2} + 2 \cdot 5 6 ^{2} - 7 7 ^{2}}{2} = 37, 232

Vypočítat další trojúhelník