Trojúhelník 6 16 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 16
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 39,6866269666
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Úhel ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,22987565553
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,96107837082
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,96986269666
Těžnice: ta = 17,86105710995
Těžnice: tb = 12,4109673646
Těžnice: tc = 6,78223299831
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,8989822365
Poloměr opsané kružnice: R = 12,09548631363
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[4,5; 3,96986269666]
Těžiště: T[8,16766666667; 1,32328756555]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -6,80333605142]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,8989822365]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 2,16882027434 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=16 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+16+20=42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−6)(21−16)(21−20) S=1575=39,69
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 39,69=13,23 vb=b2 S=162⋅ 39,69=4,96 vc=c2 S=202⋅ 39,69=3,97
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 20162+202−62)=14°21′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 2062+202−162)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−14°21′41"−41°24′35"=124°13′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2139,69=1,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,89⋅ 216⋅ 16⋅ 20=12,09
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 202−62=17,861 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 62−162=12,41 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 162−202=6,782
Vypočítat další trojúhelník