Trojúhelník 6 16 20




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 16
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 39,6866269666
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Úhel ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,22987565553
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,96107837082
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,96986269666

Těžnice: ta = 17,86105710995
Těžnice: tb = 12,4109673646
Těžnice: tc = 6,78223299831

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,8989822365
Poloměr opsané kružnice: R = 12,09548631363

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[4,5; 3,96986269666]
Těžiště: T[8,16766666667; 1,32328756555]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -6,80333605142]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,8989822365]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 2,16882027434 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=16 c=20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=6+16+20=42

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=242=21

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21(216)(2116)(2120) S=1575=39,69

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=62 39,69=13,23 vb=b2 S=162 39,69=4,96 vc=c2 S=202 39,69=3,97

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 16 20162+20262)=14°2141"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 6 2062+202162)=41°2435" γ=180°αβ=180°14°2141"41°2435"=124°1344"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=2139,69=1,89

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,89 216 16 20=12,09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 162+2 20262=17,861 tb=22c2+2a2b2=22 202+2 62162=12,41 tc=22a2+2b2c2=22 62+2 162202=6,782

Vypočítat další trojúhelník