Trojúhelník 6 19 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 19
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 35,30549217532
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Úhel ∠ A = α = 8,9087873456° = 8°54'28″ = 0,15554717212 rad
Úhel ∠ B = β = 29,3633334592° = 29°21'48″ = 0,5122486868 rad
Úhel ∠ C = γ = 141,72987919521° = 141°43'44″ = 2,47436340644 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,76883072511
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,7166307553
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,94220768128
Těžnice: ta = 21,43659511102
Těžnice: tb = 14,68884308216
Těžnice: tc = 7,38224115301
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,44110172144
Poloměr opsané kružnice: R = 19,37440692808
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[5,22991666667; 2,94220768128]
Těžiště: T[9,74330555556; 0,98106922709]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -15,21103438652]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 1,44110172144]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 171,0922126544° = 171°5'32″ = 0,15554717212 rad
∠ B' = β' = 150,6376665408° = 150°38'12″ = 0,5122486868 rad
∠ C' = γ' = 38,27112080479° = 38°16'16″ = 2,47436340644 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=19 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+19+24=49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−6)(24,5−19)(24,5−24) S=1246,44=35,3
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 35,3=11,77 vb=b2 S=192⋅ 35,3=3,72 vc=c2 S=242⋅ 35,3=2,94
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 24192+242−62)=8°54′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 2462+242−192)=29°21′48" γ=180°−α−β=180°−8°54′28"−29°21′48"=141°43′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24,535,3=1,44
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,441⋅ 24,56⋅ 19⋅ 24=19,37
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 242−62=21,436 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 62−192=14,688 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 192−242=7,382
Vypočítat další trojúhelník