Trojúhelník 6 5 5
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 5
c = 5
Obsah trojúhelníku: S = 12
Obvod trojúhelníku: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Úhel ∠ A = α = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Úhel ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Úhel ∠ C = γ = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 4
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,8
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,8
Těžnice: ta = 4
Těžnice: tb = 4,92444289009
Těžnice: tc = 4,92444289009
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,5
Poloměr opsané kružnice: R = 3,125
Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[3,6; 4,8]
Těžiště: T[2,86766666667; 1,6]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 1,875]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,5]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=5 c=5
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+5+5=16
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−6)(8−5)(8−5) S=144=12
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 12=4 vb=b2 S=52⋅ 12=4,8 vc=c2 S=52⋅ 12=4,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 552+52−62)=73°44′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 562+52−52)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−73°44′23"−53°7′48"=53°7′48"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=812=1,5
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,5⋅ 86⋅ 5⋅ 5=3,13
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 52−62=4 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 62−52=4,924 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 52−52=4,924
Vypočítat další trojúhelník