Trojúhelník 6 6 10
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 6
c = 10
Obsah trojúhelníku: S = 16,58331239518
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11
Úhel ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,97702215667 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,52877079839
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,52877079839
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,31766247904
Těžnice: ta = 7,68111457479
Těžnice: tb = 7,68111457479
Těžnice: tc = 3,31766247904
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,50875567229
Poloměr opsané kružnice: R = 5,42772042024
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 3,31766247904]
Těžiště: T[5; 1,10655415968]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -2,1110579412]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,50875567229]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,97702215667 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=6 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+6+10=22
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=222=11
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−6)(11−6)(11−10) S=275=16,58
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 16,58=5,53 vb=b2 S=62⋅ 16,58=5,53 vc=c2 S=102⋅ 16,58=3,32
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1062+102−62)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1062+102−62)=33°33′26" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−33°33′26"=112°53′7"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1116,58=1,51
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,508⋅ 116⋅ 6⋅ 10=5,43
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 102−62=7,681 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 62−62=7,681 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 62−102=3,317
Vypočítat další trojúhelník