Trojúhelník 6 7 5.48

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 7
c = 5,48

Obsah trojúhelníku: S = 15,87991196935
Obvod trojúhelníku: o = 18,48
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,24

Úhel ∠ A = α = 55,88436054122° = 55°53'1″ = 0,97553529123 rad
Úhel ∠ B = β = 74,99105650096° = 74°59'26″ = 1,30988322673 rad
Úhel ∠ C = γ = 49,12658295782° = 49°7'33″ = 0,85774074739 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,29330398978
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,5376891341
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,79552991582

Těžnice: t_a = 5,52440564805
Těžnice: t_b = 4,55768849009
Těžnice: t_c = 5,9155437431

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,71985194473
Poloměr opsané kružnice: R = 3,62436265681

Souřadnice vrcholů: A[5,48; 0] B[0; 0] C[1,55438686131; 5,79552991582]
Těžiště: T[2,3454622871; 1,93217663861]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,74; 2,37113012262]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,24; 1,71985194473]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 124,11663945878° = 124°6'59″ = 0,97553529123 rad
∠ B' = β' = 105,00994349904° = 105°34″ = 1,30988322673 rad
∠ C' = γ' = 130,87441704218° = 130°52'27″ = 0,85774074739 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 7 c = 5, 48

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 7 + 5, 48 = 18, 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 , 4 8}{2} = 9, 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{6} = 5, 29 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{7} = 4, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 , 8 8}{5 , 4 8} = 5, 8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 5 , 4 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5 , 4 8}) = 55 ° 5 3^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 5 , 4 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 5 , 4 8}) = 74 ° 5 9^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 55 ° 5 3^{'} 1 " - 74 ° 5 9^{'} 26 " = 49 ° 7^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 , 8 8}{9 , 2 4} = 1, 72

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 5 , 4 8}{4 \cdot 1 , 7 1 9 \cdot 9 , 2 4} = 3, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník