Trojúhelník 6 8 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 8
c = 11
Obsah trojúhelníku: S = 23,4198742494
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 32,15772086093° = 32°9'26″ = 0,56112491685 rad
Úhel ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,79113295877 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,8066247498
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,85546856235
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,25879531807
Těžnice: ta = 9,13878334412
Těžnice: tb = 7,90656941504
Těžnice: tc = 4,44440972087
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,87334993995
Poloměr opsané kružnice: R = 5,63765110139
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,22772727273; 4,25879531807]
Těžiště: T[5,07657575758; 1,41993177269]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -1,23329867843]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,87334993995]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,84327913907° = 147°50'34″ = 0,56112491685 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,79113295877 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=8 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+8+11=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−6)(12,5−8)(12,5−11) S=548,44=23,42
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,42=7,81 vb=b2 S=82⋅ 23,42=5,85 vc=c2 S=112⋅ 23,42=4,26
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−62)=32°9′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−82)=45°12′26" γ=180°−α−β=180°−32°9′26"−45°12′26"=102°38′8"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,523,42=1,87
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,873⋅ 12,56⋅ 8⋅ 11=5,64
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−62=9,138 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−82=7,906 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−112=4,444
Vypočítat další trojúhelník