Trojúhelník 6.5 6.5 8.31

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6,5
b = 6,5
c = 8,31

Obsah trojúhelníku: S = 20,7699171795
Obvod trojúhelníku: o = 21,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,655

Úhel ∠ A = α = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Úhel ∠ B = β = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,46989675719° = 79°28'8″ = 1,38769951373 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,39105143985
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,39105143985
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,99985973032

Těžnice: t_a = 6,71549497392
Těžnice: t_b = 6,71549497392
Těžnice: t_c = 4,99985973032

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,9499241839
Poloměr opsané kružnice: R = 4,22661856114

Souřadnice vrcholů: A[8,31; 0] B[0; 0] C[4,155; 4,99985973032]
Těžiště: T[4,155; 1,66661991011]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,155; 0,77224116919]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,155; 1,9499241839]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ B' = β' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ C' = γ' = 100,53110324281° = 100°31'52″ = 1,38769951373 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6, 5 b = 6, 5 c = 8, 31

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6, 5 + 6, 5 + 8, 31 = 21, 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1 , 3 1}{2} = 10, 66

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 66 (10, 66 - 6, 5) (10, 66 - 6, 5) (10, 66 - 8, 31) S = 431, 36 = 20, 77

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 7 7}{6 , 5} = 6, 39 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 7 7}{6 , 5} = 6, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 7 7}{8 , 3 1} = 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 8 , 3 1 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3 1}) = 50 ° 1 5^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 8 , 3 1 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3 1}) = 50 ° 1 5^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 1 5^{'} 56 " - 50 ° 1 5^{'} 56 " = 79 ° 2 8^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 7 7}{1 0 , 6 6} = 1, 95

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 , 5 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3 1}{4 \cdot 1 , 9 4 9 \cdot 1 0 , 6 5 5} = 4, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 3 1 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 6, 715 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 6, 715 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 8 , 3 1 ^{2}}{2} = 4, 999

Vypočítat další trojúhelník