Trojúhelník 60 102 56.73

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 60
b = 102
c = 56,73

Obsah trojúhelníku: S = 1446,68798702765
Obvod trojúhelníku: o = 218,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 109,365

Úhel ∠ A = α = 30,00114833992° = 30°5″ = 0,52436246658 rad
Úhel ∠ B = β = 121,78441846275° = 121°47'3″ = 2,12655349986 rad
Úhel ∠ C = γ = 28,21443319733° = 28°12'52″ = 0,49224329892 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 48,22326623425
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 28,36662719662
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 51,00222869831

Těžnice: t_a = 76,88439804511
Těžnice: t_b = 28,42879167369
Těžnice: t_c = 78,72437370493

Poloměr vepsané kružnice: r = 13,22879968022
Poloměr opsané kružnice: R = 59,99773095523

Souřadnice vrcholů: A[56,73; 0] B[0; 0] C[-31,60332707562; 51,00222869831]
Těžiště: T[8,37655764146; 17,00107623277]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[28,365; 52,86987424525]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,365; 13,22879968022]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,99985166008° = 149°59'55″ = 0,52436246658 rad
∠ B' = β' = 58,21658153725° = 58°12'57″ = 2,12655349986 rad
∠ C' = γ' = 151,78656680267° = 151°47'8″ = 0,49224329892 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 60 b = 102 c = 56, 73

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 60 + 102 + 56, 73 = 218, 73

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1 8 , 7 3}{2} = 109, 37

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 109, 37 (109, 37 - 60) (109, 37 - 102) (109, 37 - 56, 73) S = 2092882, 65 = 1446, 68

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{6 0} = 48, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{1 0 2} = 28, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 4 6 , 6 8}{5 6 , 7 3} = 51

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 2 ^{2} + 5 6 , 7 3 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 2 \cdot 5 6 , 7 3}) = 30 ° 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 0 ^{2} + 5 6 , 7 3 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2 \cdot 6 0 \cdot 5 6 , 7 3}) = 121 ° 4 7^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 5 " - 121 ° 4 7^{'} 3 " = 28 ° 1 2^{'} 52 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 4 6 , 6 8}{1 0 9 , 3 7} = 13, 23

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 0 \cdot 1 0 2 \cdot 5 6 , 7 3}{4 \cdot 1 3 , 2 2 8 \cdot 1 0 9 , 3 6 5} = 60

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 2 ^{2} + 2 \cdot 5 6 , 7 3 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2} = 76, 884 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 6 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 6 0 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2} = 28, 428 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 2 ^{2} - 5 6 , 7 3 ^{2}}{2} = 78, 724

Vypočítat další trojúhelník