Trojúhelník 7 22 25
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 22
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 73,48546922835
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Úhel ∠ A = α = 15,49987327566° = 15°29'55″ = 0,27105039165 rad
Úhel ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,87441278628 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,99656263667
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,68804265712
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,87987753827
Těžnice: ta = 23,28662620444
Těžnice: tb = 14,69769384567
Těžnice: tc = 10,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,72216552698
Poloměr opsané kružnice: R = 13,09879659857
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[3,8; 5,87987753827]
Těžiště: T[9,6; 1,96595917942]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -3,91223794503]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,72216552698]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,50112672434° = 164°30'5″ = 0,27105039165 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,87441278628 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=22 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+22+25=54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−7)(27−22)(27−25) S=5400=73,48
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 73,48=21 vb=b2 S=222⋅ 73,48=6,68 vc=c2 S=252⋅ 73,48=5,88
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 25222+252−72)=15°29′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2572+252−222)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−15°29′55"−57°7′18"=107°22′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2773,48=2,72
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,722⋅ 277⋅ 22⋅ 25=13,1
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 252−72=23,286 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 72−222=14,697 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 222−252=10,5
Vypočítat další trojúhelník