Trojúhelník 7 22 26
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 22
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 68,1987782222
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Úhel ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Úhel ∠ B = β = 48,54106961042° = 48°32'27″ = 0,84771949682 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,66440044962° = 117°39'50″ = 2,05436242895 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,48550806349
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6.21997983838
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,24659832478
Těžnice: ta = 23,82875051149
Těžnice: tb = 15,54402702679
Těžnice: tc = 9,87442088291
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48799193535
Poloměr opsané kružnice: R = 14,67878966615
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[4,63546153846; 5,24659832478]
Těžiště: T[10,21215384615; 1,74986610826]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -6,81547377357]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,48799193535]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 131,45993038958° = 131°27'33″ = 0,84771949682 rad
∠ C' = γ' = 62,33659955038° = 62°20'10″ = 2,05436242895 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=22 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+22+26=55
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−7)(27,5−22)(27,5−26) S=4650,94=68,2
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 68,2=19,49 vb=b2 S=222⋅ 68,2=6,2 vc=c2 S=262⋅ 68,2=5,25
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 26222+262−72)=13°47′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2672+262−222)=48°32′27" γ=180°−α−β=180°−13°47′43"−48°32′27"=117°39′50"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27,568,2=2,48
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,48⋅ 27,57⋅ 22⋅ 26=14,68
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 262−72=23,828 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 72−222=15,54 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 222−262=9,874
Vypočítat další trojúhelník