Trojúhelník 7 24 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 24
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 48,26442466014
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Úhel ∠ A = α = 7,70546928237° = 7°42'17″ = 0,13444722576 rad
Úhel ∠ B = β = 27,36551372914° = 27°21'55″ = 0,4787611746 rad
Úhel ∠ C = γ = 144,93301698849° = 144°55'49″ = 2,532950865 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,79897847433
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,02220205501
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,21876164401
Těžnice: ta = 26,9439747586
Těžnice: tb = 18,18796589627
Těžnice: tc = 9,35441434669
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,58224343148
Poloměr opsané kružnice: R = 26,10662813309
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[6,21766666667; 3,21876164401]
Těžiště: T[12,07222222222; 1,07325388134]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -21,36767481131]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,58224343148]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,29553071763° = 172°17'43″ = 0,13444722576 rad
∠ B' = β' = 152,63548627086° = 152°38'5″ = 0,4787611746 rad
∠ C' = γ' = 35,07698301151° = 35°4'11″ = 2,532950865 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=24 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+24+30=61
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−7)(30,5−24)(30,5−30) S=2329,44=48,26
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 48,26=13,79 vb=b2 S=242⋅ 48,26=4,02 vc=c2 S=302⋅ 48,26=3,22
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−72)=7°42′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 3072+302−242)=27°21′55" γ=180°−α−β=180°−7°42′17"−27°21′55"=144°55′49"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30,548,26=1,58
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,582⋅ 30,57⋅ 24⋅ 30=26,11
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 302−72=26,94 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 72−242=18,18 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 242−302=9,354
Vypočítat další trojúhelník