Trojúhelník 8 12 14.42
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 12
c = 14,42
Obsah trojúhelníku: S = 487,9999973666
Obvod trojúhelníku: o = 34,42
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,21
Úhel ∠ A = α = 33,69659067301° = 33°41'45″ = 0,58881045169 rad
Úhel ∠ B = β = 56,32330724972° = 56°19'23″ = 0,98330230599 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98110207727° = 89°58'52″ = 1,57704650768 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 121,9999993416
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 87,9999995611
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,65774198844
Těžnice: ta = 12,64878535728
Těžnice: tb = 9,99884098736
Těžnice: tc = 7,21222049333
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,78990759655
Poloměr opsané kružnice: R = 7,21100003956
Souřadnice vrcholů: A[14,42; 0] B[0; 0] C[4,4366074896; 6,65774198844]
Těžiště: T[6,28553582987; 2,21991399615]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,21; 0,00223883126]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,21; 2,78990759655]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,30440932699° = 146°18'15″ = 0,58881045169 rad
∠ B' = β' = 123,67769275028° = 123°40'37″ = 0,98330230599 rad
∠ C' = γ' = 90,01989792273° = 90°1'8″ = 1,57704650768 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=12 c=14,42
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+12+14,42=34,42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234,42=17,21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,21(17,21−8)(17,21−12)(17,21−14,42) S=2304=48
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 48=12 vb=b2 S=122⋅ 48=8 vc=c2 S=14,422⋅ 48=6,66
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14,42122+14,422−82)=33°41′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 14,4282+14,422−122)=56°19′23" γ=180°−α−β=180°−33°41′45"−56°19′23"=89°58′52"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,2148=2,79
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,789⋅ 17,218⋅ 12⋅ 14,42=7,21
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 14,422−82=12,648 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 14,422+2⋅ 82−122=9,998 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−14,422=7,212
Vypočítat další trojúhelník