Trojúhelník 8 15 16

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 15
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 59,4330106007
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Úhel ∠ A = α = 29,68662952314° = 29°41'11″ = 0,51881235945 rad
Úhel ∠ B = β = 68,21769125021° = 68°13'1″ = 1,19106097287 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,43328593304 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,85875265017
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,92440141343
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,42987632509

Těžnice: t_a = 14,98333240638
Těžnice: t_b = 10,18657743937
Těžnice: t_c = 8,97221792225

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,04876977439
Poloměr opsané kružnice: R = 8,07767145181

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[2,969875; 7,42987632509]
Těžiště: T[6,32329166667; 2,4766254417]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 1,11105482462]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 3,04876977439]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,31437047686° = 150°18'49″ = 0,51881235945 rad
∠ B' = β' = 111,78330874979° = 111°46'59″ = 1,19106097287 rad
∠ C' = γ' = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,43328593304 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 15 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 15 + 16 = 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 8) (19, 5 - 15) (19, 5 - 16) S = 3531, 94 = 59, 43

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 3}{8} = 14, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 3}{1 5} = 7, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 3}{1 6} = 7, 43

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}) = 29 ° 4 1^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 6}) = 68 ° 1 3^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 4 1^{'} 11 " - 68 ° 1 3^{'} 1 " = 82 ° 5^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 9 , 4 3}{1 9 , 5} = 3, 05

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 5 \cdot 1 6}{4 \cdot 3 , 0 4 8 \cdot 1 9 , 5} = 8, 08

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 14, 983 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 186 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 8, 972

Vypočítat další trojúhelník