Trojúhelník 8 8 15
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 8
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 20,87991163606
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Úhel ∠ A = α = 20,36441348063° = 20°21'51″ = 0,35554212017 rad
Úhel ∠ B = β = 20,36441348063° = 20°21'51″ = 0,35554212017 rad
Úhel ∠ C = γ = 139,27217303874° = 139°16'18″ = 2,43107502502 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,22197790902
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,22197790902
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,78438821814
Těžnice: ta = 11,33657840488
Těžnice: tb = 11,33657840488
Těžnice: tc = 2,78438821814
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,34770397652
Poloměr opsané kružnice: R = 11,49547393297
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 2,78438821814]
Těžiště: T[7,5; 0,92879607271]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -8,71108571483]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,34770397652]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,63658651937° = 159°38'9″ = 0,35554212017 rad
∠ B' = β' = 159,63658651937° = 159°38'9″ = 0,35554212017 rad
∠ C' = γ' = 40,72882696126° = 40°43'42″ = 2,43107502502 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=8 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+8+15=31
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−8)(15,5−8)(15,5−15) S=435,94=20,88
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 20,88=5,22 vb=b2 S=82⋅ 20,88=5,22 vc=c2 S=152⋅ 20,88=2,78
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−82)=20°21′51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−82)=20°21′51" γ=180°−α−β=180°−20°21′51"−20°21′51"=139°16′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=15,520,88=1,35
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,347⋅ 15,58⋅ 8⋅ 15=11,49
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 152−82=11,336 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−82=11,336 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−152=2,784
Vypočítat další trojúhelník