Trojúhelník 9 10 4
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 10
c = 4
Obsah trojúhelníku: S = 17,98443682124
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Úhel ∠ B = β = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,61224750592 rad
Úhel ∠ C = γ = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 3,99765262694
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,59768736425
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,99221841062
Těžnice: ta = 6,14441028637
Těžnice: tb = 4,84876798574
Těžnice: tc = 9,30105376189
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56438581054
Poloměr opsané kružnice: R = 5,00443459374
Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[-0,375; 8,99221841062]
Těžiště: T[1,20883333333; 2,99773947021]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; 4,58773171093]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,56438581054]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ B' = β' = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,61224750592 rad
∠ C' = γ' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=10 c=4
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+10+4=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−9)(11,5−10)(11,5−4) S=323,44=17,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 17,98=4 vb=b2 S=102⋅ 17,98=3,6 vc=c2 S=42⋅ 17,98=8,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 4102+42−92)=64°3′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 492+42−102)=92°23′17" γ=180°−α−β=180°−64°3′20"−92°23′17"=23°33′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,517,98=1,56
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,564⋅ 11,59⋅ 10⋅ 4=5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 42−92=6,144 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 92−102=4,848 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 102−42=9,301
Vypočítat další trojúhelník