Trojúhelník 9 13 18
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 13
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 55,4987747702
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Úhel ∠ A = α = 28,31663682245° = 28°18'59″ = 0,49442138577 rad
Úhel ∠ B = β = 43,24879853748° = 43°14'53″ = 0,75548197396 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,43656464007° = 108°26'8″ = 1,89325590562 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,33328328227
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,53881150311
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,16664164113
Těžnice: ta = 15,04216089565
Těžnice: tb = 12,65989889012
Těžnice: tc = 6,63332495807
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,77548873851
Poloměr opsané kružnice: R = 9,48768714822
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[6,55655555556; 6,16664164113]
Těžiště: T[8,18551851852; 2,05554721371]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -33,0001217508]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,77548873851]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,68436317755° = 151°41'1″ = 0,49442138577 rad
∠ B' = β' = 136,75220146252° = 136°45'7″ = 0,75548197396 rad
∠ C' = γ' = 71,56443535993° = 71°33'52″ = 1,89325590562 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=13 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+13+18=40
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−9)(20−13)(20−18) S=3080=55,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 55,5=12,33 vb=b2 S=132⋅ 55,5=8,54 vc=c2 S=182⋅ 55,5=6,17
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 18132+182−92)=28°18′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1892+182−132)=43°14′53" γ=180°−α−β=180°−28°18′59"−43°14′53"=108°26′8"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2055,5=2,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,775⋅ 209⋅ 13⋅ 18=9,49
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 182−92=15,042 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 92−132=12,659 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 132−182=6,633
Vypočítat další trojúhelník