Trojúhelník 9 26 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 26
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 111,40443872565
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Úhel ∠ A = α = 16,59878421359° = 16°35'52″ = 0,2989686994 rad
Úhel ∠ B = β = 55,61105672911° = 55°36'38″ = 0,97105874981 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,7921590573° = 107°47'30″ = 1,88113181615 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,75765305014
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,57695682505
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,42769591504

Těžnice: t_a = 27,7088302005
Těžnice: t_b = 17,9330421077
Těžnice: t_c = 12,39895116934

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,42878273002
Poloměr opsané kružnice: R = 15,75334190818

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[5,08333333333; 7,42769591504]
Těžiště: T[11,69444444444; 2,47656530501]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -4,81435447194]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,42878273002]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,40221578641° = 163°24'8″ = 0,2989686994 rad
∠ B' = β' = 124,38994327089° = 124°23'22″ = 0,97105874981 rad
∠ C' = γ' = 72,2088409427° = 72°12'30″ = 1,88113181615 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 26 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 26 + 30 = 65

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 9) (32, 5 - 26) (32, 5 - 30) S = 12410, 94 = 111, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 1 , 4}{9} = 24, 76 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 1 , 4}{2 6} = 8, 57 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 1 , 4}{3 0} = 7, 43

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 3 0}) = 16 ° 3 5^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 3 0}) = 55 ° 3 6^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 3 5^{'} 52 " - 55 ° 3 6^{'} 38 " = 107 ° 4 7^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 1 , 4}{3 2 , 5} = 3, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 6 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 4 2 8 \cdot 3 2 , 5} = 15, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 27, 708 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 17, 93 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 12, 39

Vypočítat další trojúhelník