Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 7,5
c = 4,5
Obsah trojúhelníku: S = 16,83774582405
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Úhel ∠ A = α = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 3,74216573868
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,49899888641
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,48333147735
Těžnice: ta = 4,24326406871
Těžnice: tb = 6,04766933112
Těžnice: tc = 7,97326093596
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,60435674515
Poloměr opsané kružnice: R = 4,51100334573
Souřadnice vrcholů: A[4,5; 0] B[0; 0] C[5; 7,48333147735]
Těžiště: T[3,16766666667; 2,49444382578]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,25; 3,9098695663]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,60435674515]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=7,5 c=4,5
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+7,5+4,5=21
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−9)(10,5−7,5)(10,5−4,5) S=283,5=16,84
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 16,84=3,74 vb=b2 S=7,52⋅ 16,84=4,49 vc=c2 S=4,52⋅ 16,84=7,48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7,5⋅ 4,57,52+4,52−92)=93°49′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 4,592+4,52−7,52)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−93°49′21"−56°15′4"=29°55′35"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=10,516,84=1,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,604⋅ 10,59⋅ 7,5⋅ 4,5=4,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 7,52+2⋅ 4,52−92=4,243 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 4,52+2⋅ 92−7,52=6,047 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 7,52−4,52=7,973
Vypočítat další trojúhelník