Pravoúhlý trojúhelník kalkulačka (B,b)

Zadané odvěsna b a úhel β.

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 678,59990198174
b = 838
c = 1078,30545162185

Obsah trojúhelníku: S = 284332,98993035
Obvod trojúhelníku: o = 2594,90435360359
Semiperimeter (poloobvod): s = 1297,4521768018

Úhel ∠ A = α = 39° = 0,68106784083 rad
Úhel ∠ B = β = 51° = 0,89901179185 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 838
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 678,59990198174
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 527,37704876998

Těžnice: t_a = 904,08441539504
Těžnice: t_b = 797,53222123257
Těžnice: t_c = 539,15222581092

Úsek c_a = 651,24883157009
Úsek c_b = 427,05662005175

Poloměr vepsané kružnice: r = 219,14772517995
Poloměr opsané kružnice: R = 539,15222581092

Souřadnice vrcholů: A[1078,30545162185; 0] B[0; 0] C[427,05662005175; 527,37704876998]
Těžiště: T[501,78769055787; 175,79901625666]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[539,15222581092; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[459,45217680179; 219,14772517995]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141° = 0,68106784083 rad
∠ B' = β' = 129° = 0,89901179185 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: odvěsna b a úhel β

b = 838 β = 51 °

2. Z úhlu β vypočítáme úhel α:

α + β + 90 ° = 180 ° α = 90 ° - β = 90 ° - 51 ° = 39 °

3. Z odvěsny b a úhlu α vypočítáme přeponu c:

cos α = b : c c = b / cos α = 838 / cos (39 °) = 1078, 305

4. Z přepony c a úhlu α vypočítáme odvěsnu a:

sin α = a : c a = c \cdot sin α = 1078, 305 \cdot sin (39 °) = 678, 599

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 678, 6 b = 838 c = 1078, 3

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 678, 6 + 838 + 1078, 3 = 2594, 9

6. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 9 4 , 9}{2} = 1297, 45

7. Obsah trojúhelníku

S = \frac{a b}{2} = \frac{6 7 8 , 6 \cdot 8 3 8}{2} = 284332, 99

8. Výpočet výšek pravoúhlého trojúhelníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 838 v_{b} = a = 678, 6 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 4 3 3 2 , 9 9}{1 0 7 8 , 3} = 527, 37

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku - základní použití sinus funkce

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{6 7 8 , 6}{1 0 7 8 , 3}) = 39 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{8 3 8}{1 0 7 8 , 3}) = 51 ° γ = 90 °

10. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 4 3 3 2 , 9 9}{1 2 9 7 , 4 5} = 219, 15

11. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{c}{2} = \frac{1 0 7 8 , 3}{2} = 539, 15

12. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 83 8^{2} + (678, 6 / 2)^{2} = 904, 084 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 678, 6^{2} + (838 / 2)^{2} = 797, 532 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{1 0 7 8 , 3}{2} = 539, 152

Vypočítat další trojúhelník