Pravoúhlý trojúhelník kalkulačka (a,b) - výsledek




Prosím zadejte dvě vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku

Znám symboly: a, b, c, A, B, v, S, o, r, R


Zadané odvěsna a a odvěsna b.

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 9   b = 5   c = 10,2965630141

Obsah trojúhelníku: S = 22,5
Obvod trojúhelníku: o = 24,2965630141
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,14878150705

Úhel ∠ A = α = 60,94553959009° = 60°56'43″ = 1,06436978224 rad
Úhel ∠ B = β = 29,05546040991° = 29°3'17″ = 0,50770985044 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku: va = 5
Výška trojúhelníku: vb = 9
Výška trojúhelníku: vc = 4,37107863806

Těžnice: ta = 6,72768120235
Těžnice: tb = 9,34107708461
Těžnice: tc = 5,14878150705

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,85221849295
Poloměr opsané kružnice: R = 5,14878150705

Souřadnice vrcholů: A[10,2965630141; 0] B[0; 0] C[7,86774154851; 4,37107863806]
Těžiště: T[6,0544348542; 1,45769287935]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,14878150705; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,14878150705; 1,85221849295]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 119,0554604099° = 119°3'17″ = 1,06436978224 rad
∠ B' = β' = 150,9455395901° = 150°56'43″ = 0,50770985044 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: odvěsna a a odvěsna b

a=9 b=5a = 9 \ \\ b = 5

2. Z odvěsny a a odvěsny b vypočítáme přeponu c - Pythagorova věta:

c2=a2+b2 c=a2+b2=92+52=106=10.296c^2 = a^2+b^2 \ \\ c = \sqrt{ a^2+b^2 } = \sqrt{ 9^2 + 5^2 } = \sqrt{ 106 } = 10.296

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a=9 b=5 c=10.3a = 9 \ \\ b = 5 \ \\ c = 10.3

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=9+5+10.3=24.3

4. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=24.32=12.15

5. Obsah trojúhelníku

S=ab2=9 52=22.5

6. Výpočet výšek pravoúhlého trojúhelníku z jeho obsahu.

va=b=5  vb=a=9  S=cvc2   vc=2 Sc=2 22.510.3=4.37

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku - základní použití sinus funkce

sinα=ac α=arcsin(ac)=arcsin(910.3)=605643" sinβ=bc β=arcsin(bc)=arcsin(510.3)=29317" γ=90\sin α = \dfrac{ a }{ c } \ \\ α = \arcsin(\dfrac{ a }{ c } ) = \arcsin(\dfrac{ 9 }{ 10.3 } ) = 60^\circ 56'43" \ \\ \sin β = \dfrac{ b }{ c } \ \\ β = \arcsin(\dfrac{ b }{ c } ) = \arcsin(\dfrac{ 5 }{ 10.3 } ) = 29^\circ 3'17" \ \\ γ = 90^\circ

8. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=22.512.15=1.85

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=c2=10.32=5.15R = \dfrac{ c }{ 2 } = \dfrac{ 10.3 }{ 2 } = 5.15

10. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta2=b2+(a/2)2 ta=b2+(a/2)2=52+(9/2)2=6.727  tb2=a2+(b/2)2 tb=a2+(b/2)2=92+(5/2)2=9.341  tc=R=c2=10.32=5.148

Vypočítat další trojúhelník