Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 1
b = 1,1
c = 0,9

Obsah trojúhelníku: S = 0,42442640687
Obvod trojúhelníku: o = 3
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,5

Úhel ∠ A = α = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Úhel ∠ B = β = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Úhel ∠ C = γ = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,84985281374
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 0,77113892158
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 0,94328090416

Těžnice: t_a = 0,87217797887
Těžnice: t_b = 0,77662087348
Těžnice: t_c = 0,95

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,28328427125
Poloměr opsané kružnice: R = 0,58333630945

Souřadnice vrcholů: A[0,9; 0] B[0; 0] C[0,33333333333; 0,94328090416]
Těžiště: T[0,41111111111; 0,31442696805]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,45; 0,37112310601]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,4; 0,28328427125]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ B' = β' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
∠ C' = γ' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1 b = 1, 1 c = 0, 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1 + 1, 1 + 0, 9 = 3

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 1, 5 (1, 5 - 1) (1, 5 - 1, 1) (1, 5 - 0, 9) S = 0, 18 = 0, 42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{1} = 0, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{1 , 1} = 0, 77 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 4 2}{0 , 9} = 0, 94

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 1 ^{2} + 0 , 9 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 , 1 \cdot 0 , 9}) = 58 ° 5 9^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 0 , 9 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 0 , 9}) = 70 ° 3 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 5 9^{'} 33 " - 70 ° 3 1^{'} 44 " = 50 ° 2 8^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 4 2}{1 , 5} = 0, 28

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 1 , 1 \cdot 0 , 9}{4 \cdot 0 , 2 8 3 \cdot 1 , 5} = 0, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 ^{2} + 2 \cdot 0 , 9 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 0, 872 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 0 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 , 1 ^{2}}{2} = 0, 776 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 1 ^{2} - 0 , 9 ^{2}}{2} = 0, 95

Vypočítat další trojúhelník