Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1
b = 1,53
c = 1,35
Obsah trojúhelníku: S = 0,66441753082
Obvod trojúhelníku: o = 3,88
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,94
Úhel ∠ A = α = 40,02443675848° = 40°1'28″ = 0,69985569954 rad
Úhel ∠ B = β = 79,72551471406° = 79°43'31″ = 1,39114663142 rad
Úhel ∠ C = γ = 60,25504852746° = 60°15'2″ = 1,0521569344 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 1,32883506164
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 0,86882030172
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,98439634195
Těžnice: ta = 1,35334031181
Těžnice: tb = 0,9098859175
Těžnice: tc = 1,10221909998
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,34223584063
Poloměr opsané kružnice: R = 0,7777467927
Souřadnice vrcholů: A[1,35; 0] B[0; 0] C[0,17883703704; 0,98439634195]
Těžiště: T[0,50994567901; 0,32879878065]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,675; 0,38657866994]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,41; 0,34223584063]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,97656324152° = 139°58'32″ = 0,69985569954 rad
∠ B' = β' = 100,27548528594° = 100°16'29″ = 1,39114663142 rad
∠ C' = γ' = 119,75495147254° = 119°44'58″ = 1,0521569344 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=1,53 c=1,35
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1+1,53+1,35=3,88
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=23,88=1,94
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=1,94(1,94−1)(1,94−1,53)(1,94−1,35) S=0,44=0,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 0,66=1,33 vb=b2 S=1,532⋅ 0,66=0,87 vc=c2 S=1,352⋅ 0,66=0,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,53⋅ 1,351,532+1,352−12)=40°1′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1,3512+1,352−1,532)=79°43′31" γ=180°−α−β=180°−40°1′28"−79°43′31"=60°15′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1,940,66=0,34
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,342⋅ 1,941⋅ 1,53⋅ 1,35=0,78
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.Vypočítat další trojúhelník