Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1
b = 1,73
c = 2
Obsah trojúhelníku: S = 0,86549981788
Obvod trojúhelníku: o = 4,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 2,365
Úhel ∠ A = α = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Úhel ∠ B = β = 59,88224972993° = 59°52'57″ = 1,04551467422 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,57328483514 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 1,73299963577
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,9999978946
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,86549981788
Těžnice: ta = 1,80217907759
Těžnice: tb = 1,32435463724
Těžnice: tc = 0,99882234219
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,36657497585
Poloměr opsané kružnice: R = 11,0000021054
Souřadnice vrcholů: A[2; 0] B[0; 0] C[0,5021775; 0,86549981788]
Těžiště: T[0,8343925; 0,28883327263]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1; -0,00220520274]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,635; 0,36657497585]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ B' = β' = 120,11875027007° = 120°7'3″ = 1,04551467422 rad
∠ C' = γ' = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,57328483514 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=1,73 c=2
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1+1,73+2=4,73
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=24,73=2,37
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=2,37(2,37−1)(2,37−1,73)(2,37−2) S=0,75=0,86
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 0,86=1,73 vb=b2 S=1,732⋅ 0,86=1 vc=c2 S=22⋅ 0,86=0,86
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,73⋅ 21,732+22−12)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 212+22−1,732)=59°52′57" γ=180°−α−β=180°−30°−59°52′57"=90°7′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2,370,86=0,37
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,366⋅ 2,3651⋅ 1,73⋅ 2=1
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1,732+2⋅ 22−12=1,802 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 12−1,732=1,324 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 1,732−22=0,998
Vypočítat další trojúhelník