Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 1
b = 3,08
c = 3,24

Obsah trojúhelníku: S = 1,54399974545
Obvod trojúhelníku: o = 7,32
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,66

Úhel ∠ A = α = 17,97773779376° = 17°58'39″ = 0,31437644359 rad
Úhel ∠ B = β = 71,91884478604° = 71°55'6″ = 1,25552137081 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,1044174202° = 90°6'15″ = 1,57326145096 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 3,08799949091
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,9999983471
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 0,95106157127

Těžnice: t_a = 3,12112177111
Těžnice: t_b = 1,83877159737
Těžnice: t_c = 1,61882706819

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,42107643318
Poloměr opsané kružnice: R = 1,62200026777

Souřadnice vrcholů: A[3,24; 0] B[0; 0] C[0,31103703704; 0,95106157127]
Těžiště: T[1,18334567901; 0,31768719042]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,62; -0,00329454594]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,58; 0,42107643318]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,02326220624° = 162°1'21″ = 0,31437644359 rad
∠ B' = β' = 108,08215521396° = 108°4'54″ = 1,25552137081 rad
∠ C' = γ' = 89,8965825798° = 89°53'45″ = 1,57326145096 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1 b = 3, 08 c = 3, 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 , 3 2}{2} = 3, 66

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 66 (3, 66 - 1) (3, 66 - 3, 08) (3, 66 - 3, 24) S = 2, 37 = 1, 54

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{1} = 3, 08 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{3 , 0 8} = 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 5 4}{3 , 2 4} = 0, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 0 8 ^{2} + 3 , 2 4 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 3 , 0 8 \cdot 3 , 2 4}) = 17 ° 5 8^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 3 , 2 4 ^{2} - 3 , 0 8 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 3 , 2 4}) = 71 ° 5 5^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 8^{'} 39 " - 71 ° 5 5^{'} 6 " = 90 ° 6^{'} 15 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 5 4}{3 , 6 6} = 0, 42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 3 , 0 8 \cdot 3 , 2 4}{4 \cdot 0 , 4 2 1 \cdot 3 , 6 6} = 1, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník