Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1,4
b = 1
c = 1,4
Obsah trojúhelníku: S = 0,65438348415
Obvod trojúhelníku: o = 3,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,9
Úhel ∠ A = α = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad
Úhel ∠ B = β = 41,85496648553° = 41°50'59″ = 0,73304144426 rad
Úhel ∠ C = γ = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 0,93440497736
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,30876696831
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,93440497736
Těžnice: ta = 0,99549874371
Těžnice: tb = 1,30876696831
Těžnice: tc = 0,99549874371
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,34441236008
Poloměr opsané kružnice: R = 0,74994247306
Souřadnice vrcholů: A[1,4; 0] B[0; 0] C[1,04328571429; 0,93440497736]
Těžiště: T[0,81442857143; 0,31113499245]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,7; 0,26876516895]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,9; 0,34441236008]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad
∠ B' = β' = 138,15503351447° = 138°9'1″ = 0,73304144426 rad
∠ C' = γ' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1,4 b=1 c=1,4
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1,4+1+1,4=3,8
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=23,8=1,9
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=1,9(1,9−1,4)(1,9−1)(1,9−1,4) S=0,43=0,65
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1,42⋅ 0,65=0,93 vb=b2 S=12⋅ 0,65=1,31 vc=c2 S=1,42⋅ 0,65=0,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1,412+1,42−1,42)=69°4′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1,4⋅ 1,41,42+1,42−12)=41°50′59" γ=180°−α−β=180°−69°4′31"−41°50′59"=69°4′31"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1,90,65=0,34
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,344⋅ 1,91,4⋅ 1⋅ 1,4=0,75
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 12+2⋅ 1,42−1,42=0,995 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 1,42+2⋅ 1,42−12=1,308 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1,42+2⋅ 12−1,42=0,995
Vypočítat další trojúhelník