Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 1,73
b = 2,24
c = 2,83

Obsah trojúhelníku: S = 1,93875999587
Obvod trojúhelníku: o = 6,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,4

Úhel ∠ A = α = 37,6844097189° = 37°41'3″ = 0,65877115716 rad
Úhel ∠ B = β = 52,32877310067° = 52°19'40″ = 0,91332911962 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98881718043° = 89°59'17″ = 1,57105898858 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 2,24399999523
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,73299999631
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,36993285927

Těžnice: t_a = 2,40110466468
Těžnice: t_b = 2,06107037633
Těžnice: t_c = 1,41552826573

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,57698823408
Poloměr opsané kružnice: R = 1,41550000302

Souřadnice vrcholů: A[2,83; 0] B[0; 0] C[1,05772791519; 1,36993285927]
Těžiště: T[1,29657597173; 0,45664428642]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,415; 00,000292114]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,16; 0,57698823408]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,3165902811° = 142°18'57″ = 0,65877115716 rad
∠ B' = β' = 127,67222689933° = 127°40'20″ = 0,91332911962 rad
∠ C' = γ' = 90,01218281957° = 90°43″ = 1,57105898858 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1, 73 b = 2, 24 c = 2, 83

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1, 73 + 2, 24 + 2, 83 = 6, 8

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 8}{2} = 3, 4

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 4 (3, 4 - 1, 73) (3, 4 - 2, 24) (3, 4 - 2, 83) S = 3, 75 = 1, 94

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{1 , 7 3} = 2, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{2 , 2 4} = 1, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 9 4}{2 , 8 3} = 1, 37

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 2 4 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2 \cdot 2 , 2 4 \cdot 2 , 8 3}) = 37 ° 4 1^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 , 7 3 ^{2} + 2 , 8 3 ^{2} - 2 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 , 7 3 \cdot 2 , 8 3}) = 52 ° 1 9^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 4 1^{'} 3 " - 52 ° 1 9^{'} 40 " = 89 ° 5 9^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 9 4}{3 , 4} = 0, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 , 7 3 \cdot 2 , 2 4 \cdot 2 , 8 3}{4 \cdot 0 , 5 7 \cdot 3 , 4} = 1, 42

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 , 8 3 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2} = 2, 401 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} - 2 , 2 4 ^{2}}{2} = 2, 061 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 4 ^{2} - 2 , 8 3 ^{2}}{2} = 1, 415

Vypočítat další trojúhelník