Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 1,86
b = 2,78
c = 3,71

Obsah trojúhelníku: S = 2,50439019468
Obvod trojúhelníku: o = 8,35
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,175

Úhel ∠ A = α = 29,0488121141° = 29°2'53″ = 0,50769853554 rad
Úhel ∠ B = β = 46,52875750737° = 46°31'39″ = 0,8122059378 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,42443037853° = 104°25'27″ = 1,82325479202 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 2,69223676848
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,80113683071
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,35498123703

Těžnice: t_a = 3,14334614679
Těžnice: t_b = 2,58545212323
Těžnice: t_c = 1,46773019457

Poloměr vepsané kružnice: r = 0.65997369933
Poloměr opsané kružnice: R = 1,91553773198

Souřadnice vrcholů: A[3,71; 0] B[0; 0] C[1,2879690027; 1,35498123703]
Těžiště: T[1,6633230009; 0,45499374568]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,855; -0,47771218683]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,395; 0.65997369933]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,9521878859° = 150°57'7″ = 0,50769853554 rad
∠ B' = β' = 133,47224249263° = 133°28'21″ = 0,8122059378 rad
∠ C' = γ' = 75,57656962147° = 75°34'33″ = 1,82325479202 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1, 86 b = 2, 78 c = 3, 71

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1, 86 + 2, 78 + 3, 71 = 8, 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 3 5}{2} = 4, 18

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 18 (4, 18 - 1, 86) (4, 18 - 2, 78) (4, 18 - 3, 71) S = 6, 27 = 2, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{1 , 8 6} = 2, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{2 , 7 8} = 1, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{3 , 7 1} = 1, 35

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 7 8 ^{2} + 3 , 7 1 ^{2} - 1 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 2 , 7 8 \cdot 3 , 7 1}) = 29 ° 2^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 , 8 6 ^{2} + 3 , 7 1 ^{2} - 2 , 7 8 ^{2}}{2 \cdot 1 , 8 6 \cdot 3 , 7 1}) = 46 ° 3 1^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 2^{'} 53 " - 46 ° 3 1^{'} 39 " = 104 ° 2 5^{'} 27 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5}{4 , 1 8} = 0, 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 , 8 6 \cdot 2 , 7 8 \cdot 3 , 7 1}{4 \cdot 0 , 6 \cdot 4 , 1 7 5} = 1, 92

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 7 8 ^{2} + 2 \cdot 3 , 7 1 ^{2} - 1 , 8 6 ^{2}}{2} = 3, 143 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 7 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 8 6 ^{2} - 2 , 7 8 ^{2}}{2} = 2, 585 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 7 8 ^{2} - 3 , 7 1 ^{2}}{2} = 1, 467

Vypočítat další trojúhelník