Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 10
c = 14,14
Obsah trojúhelníku: S = 509,9999977199
Obvod trojúhelníku: o = 34,14
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,07
Úhel ∠ A = α = 45,00986516628° = 45°31″ = 0,78655491634 rad
Úhel ∠ B = β = 45,00986516628° = 45°31″ = 0,78655491634 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98326966743° = 89°58'58″ = 1,57704943268 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10.999999544
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10.999999544
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,07221354625
Těžnice: ta = 11,17989892209
Těžnice: tb = 11,17989892209
Těžnice: tc = 7,07221354625
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,92991152736
Poloměr opsané kružnice: R = 7,07700003224
Souřadnice vrcholů: A[14,14; 0] B[0; 0] C[7,07; 7,07221354625]
Těžiště: T[7,07; 2,35773784875]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,07; 0,00221351401]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,07; 2,92991152736]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,99113483372° = 134°59'29″ = 0,78655491634 rad
∠ B' = β' = 134,99113483372° = 134°59'29″ = 0,78655491634 rad
∠ C' = γ' = 90,01773033257° = 90°1'2″ = 1,57704943268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=10 c=14,14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+10+14,14=34,14
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234,14=17,07
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,07(17,07−10)(17,07−10)(17,07−14,14) S=2500=50
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 50=10 vb=b2 S=102⋅ 50=10 vc=c2 S=14,142⋅ 50=7,07
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14,14102+14,142−102)=45°31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14,14102+14,142−102)=45°31" γ=180°−α−β=180°−45°31"−45°31"=89°58′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,0750=2,93
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,929⋅ 17,0710⋅ 10⋅ 14,14=7,07
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 14,142−102=11,179 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 14,142+2⋅ 102−102=11,179 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−14,142=7,072
Vypočítat další trojúhelník