Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 10 b = 11,18 c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 55.98999999677
Obvod trojúhelníku: o = 36,18
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,09

Úhel ∠ A = α = 41,81103148662° = 41°48'37″ = 0,73297276557 rad
Úhel ∠ B = β = 48,18877376923° = 48°11'16″ = 0,84110346818 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00219474415° = 90°7″ = 1,57108303161 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 11,18799999935
Výška trojúhelníku: v_b = 10.9999999942
Výška trojúhelníku: v_c = 7,4533333329

Těžnice: t_a = 12,24772935786
Těžnice: t_b = 11,45765221599
Těžnice: t_c = 7.54997466624

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,09901050286
Poloměr opsané kružnice: R = 7.55000000043

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,667692; 7,4533333329]
Těžiště: T[7,22223066667; 2,4844444443]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -00,0002549195]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,91; 3,09901050286]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,19896851338° = 138°11'23″ = 0,73297276557 rad
∠ B' = β' = 131,81222623077° = 131°48'44″ = 0,84110346818 rad
∠ C' = γ' = 89,99880525585° = 89°59'53″ = 1,57108303161 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 11, 18 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 11, 18 + 15 = 36, 18

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6 , 1 8}{2} = 18, 09

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 09 (18, 09 - 10) (18, 09 - 11, 18) (18, 09 - 15) S = 3124, 81 = 55, 9

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 0} = 11, 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 1 , 1 8} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 5} = 7, 45

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 , 1 8 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 , 1 8 \cdot 1 5}) = 41 ° 4 8^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 , 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 48 ° 1 1^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 8^{'} 37 " - 48 ° 1 1^{'} 16 " = 90 ° 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 9}{1 8 , 0 9} = 3, 09

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 , 1 8 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 0 9 \cdot 1 8 , 0 9} = 7, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník