Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 12
c = 15,62

Obsah trojúhelníku: S = 609,9999998733
Obvod trojúhelníku: o = 37,62
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,81

Úhel ∠ A = α = 39,80770974035° = 39°48'26″ = 0,69547649154 rad
Úhel ∠ B = β = 50,19766268221° = 50°11'48″ = 0,87660964114 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,99662757743° = 89°59'47″ = 1,57107313268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 121,9999999747
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10.9999999789
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,68224583705

Těžnice: t_a = 132,9996999965
Těžnice: t_b = 11,66215693627
Těžnice: t_c = 7,81104993438

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,19897926567
Poloměr opsané kružnice: R = 7,81100000165

Souřadnice vrcholů: A[15,62; 0] B[0; 0] C[6,40215492958; 7,68224583705]
Těžiště: T[7,34105164319; 2,56108194568]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,81; 0,001050765]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,81; 3,19897926567]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,19329025965° = 140°11'34″ = 0,69547649154 rad
∠ B' = β' = 129,80333731779° = 129°48'12″ = 0,87660964114 rad
∠ C' = γ' = 90,00437242257° = 90°13″ = 1,57107313268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 12 c = 15, 62

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 12 + 15, 62 = 37, 62

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7 , 6 2}{2} = 18, 81

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 81 (18, 81 - 10) (18, 81 - 12) (18, 81 - 15, 62) S = 3600 = 60

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 0} = 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 2} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 5 , 6 2} = 7, 68

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5 , 6 2}) = 39 ° 4 8^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5 , 6 2}) = 50 ° 1 1^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4 8^{'} 26 " - 50 ° 1 1^{'} 48 " = 89 ° 5 9^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 0}{1 8 , 8 1} = 3, 19

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 5 , 6 2}{4 \cdot 3 , 1 9 \cdot 1 8 , 8 1} = 7, 81

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 13 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 11, 662 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 , 6 2 ^{2}}{2} = 7, 81

Vypočítat další trojúhelník