Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12,49
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 62,45
Obvod trojúhelníku: o = 38,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,245
Úhel ∠ A = α = 38,68221874535° = 38°40'56″ = 0,67551315329 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878354832° = 51°19'4″ = 0,89656651942 rad
Úhel ∠ C = γ = 909,9999770633° = 90° = 1,57107959265 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,49
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,806625
Těžnice: ta = 13,45436259053
Těžnice: tb = 11,79898250623
Těžnice: tc = 88,000003125
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,2454998701
Poloměr opsané kružnice: R = 8
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[6,2549996875; 7,806625]
Těžiště: T[7,4176665625; 2,60220833333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 03,2026E-6]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,755; 3,2454998701]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,31878125465° = 141°19'4″ = 0,67551315329 rad
∠ B' = β' = 128,68221645168° = 128°40'56″ = 0,89656651942 rad
∠ C' = γ' = 900,0000229367° = 90° = 1,57107959265 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12,49 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12,49+16=38,49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=238,49=19,25
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,25(19,25−10)(19,25−12,49)(19,25−16) S=3900=62,45
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 62,45=12,49 vb=b2 S=12,492⋅ 62,45=10 vc=c2 S=162⋅ 62,45=7,81
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12,49⋅ 1612,492+162−102)=38°40′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−12,492)=51°19′4" γ=180°−α−β=180°−38°40′56"−51°19′4"=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,2562,45=3,24
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,245⋅ 19,24510⋅ 12,49⋅ 16=8
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 12,492+2⋅ 162−102=13,454 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 102−12,492=11,79 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 12,492−162=8
Vypočítat další trojúhelník