Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 29,6
c = 31,24

Obsah trojúhelníku: S = 1487,9999895562
Obvod trojúhelníku: o = 70,84
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,42

Úhel ∠ A = α = 18,66991183303° = 18°40'9″ = 0,32658375833 rad
Úhel ∠ B = β = 71,35224063009° = 71°21'9″ = 1,24553344192 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,97884753688° = 89°58'43″ = 1,57704206511 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 29.65999979112
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10.9999992943
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,47550313416

Těžnice: t_a = 30,01774749105
Těžnice: t_b = 17,85985777709
Těžnice: t_c = 15,62435591336

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,17884299705
Poloměr opsané kružnice: R = 15,62200011022

Souřadnice vrcholů: A[31,24; 0] B[0; 0] C[3,19774647887; 9,47550313416]
Těžiště: T[11,47991549296; 3,15883437805]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15,62; 0,00658680545]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,82; 4,17884299705]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,33108816697° = 161°19'51″ = 0,32658375833 rad
∠ B' = β' = 108,64875936991° = 108°38'51″ = 1,24553344192 rad
∠ C' = γ' = 90,02215246312° = 90°1'17″ = 1,57704206511 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 29, 6 c = 31, 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 29, 6 + 31, 24 = 70, 84

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0 , 8 4}{2} = 35, 42

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 42 (35, 42 - 10) (35, 42 - 29, 6) (35, 42 - 31, 24) S = 21904 = 148

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{1 0} = 29, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{2 9 , 6} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{3 1 , 2 4} = 9, 48

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 , 6 ^{2} + 3 1 , 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 9 , 6 \cdot 3 1 , 2 4}) = 18 ° 4 0^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 3 1 , 2 4 ^{2} - 2 9 , 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 3 1 , 2 4}) = 71 ° 2 1^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 4 0^{'} 9 " - 71 ° 2 1^{'} 9 " = 89 ° 5 8^{'} 43 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 8}{3 5 , 4 2} = 4, 18

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 9 , 6 \cdot 3 1 , 2 4}{4 \cdot 4 , 1 7 8 \cdot 3 5 , 4 2} = 15, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 , 6 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 30, 017 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 9 , 6 ^{2}}{2} = 17, 859 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 , 6 ^{2} - 3 1 , 2 4 ^{2}}{2} = 15, 624

Vypočítat další trojúhelník