Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 7,62
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 29,97767083048
Obvod trojúhelníku: o = 25,62
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,81

Úhel ∠ A = α = 79,5733478464° = 79°34'25″ = 1,38988191965 rad
Úhel ∠ B = β = 48,54399630767° = 48°32'24″ = 0,84771821745 rad
Úhel ∠ C = γ = 51,88765584592° = 51°53'12″ = 0,90655912826 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,9955341661
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,86879024422
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,49441770762

Těžnice: t_a = 6,00326827336
Těžnice: t_b = 8,21548584893
Těžnice: t_c = 7,93992820834

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,34401021315
Poloměr opsané kružnice: R = 5,08439471249

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[6,6210975; 7,49441770762]
Těžiště: T[4,87436583333; 2,49880590254]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 3,13879162463]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,19; 2,34401021315]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 100,4276521536° = 100°25'35″ = 1,38988191965 rad
∠ B' = β' = 131,46600369233° = 131°27'36″ = 0,84771821745 rad
∠ C' = γ' = 128,11334415408° = 128°6'48″ = 0,90655912826 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 7, 62 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 7, 62 + 8 = 25, 62

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 6 2}{2} = 12, 81

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 81 (12, 81 - 10) (12, 81 - 7, 62) (12, 81 - 8) S = 898, 6 = 29, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{1 0} = 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{7 , 6 2} = 7, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{8} = 7, 49

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 6 2 ^{2} + 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 , 6 2 \cdot 8}) = 79 ° 3 4^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 8 ^{2} - 7 , 6 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 8}) = 48 ° 3 2^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 79 ° 3 4^{'} 25 " - 48 ° 3 2^{'} 24 " = 51 ° 5 3^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 , 9 8}{1 2 , 8 1} = 2, 34

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 7 , 6 2 \cdot 8}{4 \cdot 2 , 3 4 \cdot 1 2 , 8 1} = 5, 08

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 6 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 003 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 7 , 6 2 ^{2}}{2} = 8, 215 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 7 , 6 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 7, 939

Vypočítat další trojúhelník