Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 8
c = 12,81
Obsah trojúhelníku: S = 409,999992785
Obvod trojúhelníku: o = 30,81
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,405
Úhel ∠ A = α = 51,3199209145° = 51°19'9″ = 0,89656891691 rad
Úhel ∠ B = β = 38,64663775753° = 38°38'47″ = 0,67545065327 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,03444132796° = 90°2'4″ = 1,57113969518 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 87,999998557
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10.9999981962
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,24551198728
Těžnice: ta = 9,43765274333
Těžnice: tb = 10,77325600486
Těžnice: tc = 6,40112479252
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,59765590902
Poloměr opsané kružnice: R = 6,40550011553
Souřadnice vrcholů: A[12,81; 0] B[0; 0] C[7,81101522248; 6,24551198728]
Těžiště: T[6,87333840749; 2,08217066243]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,405; -0,00438470038]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,405; 2,59765590902]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,6810790855° = 128°40'51″ = 0,89656891691 rad
∠ B' = β' = 141,35436224247° = 141°21'13″ = 0,67545065327 rad
∠ C' = γ' = 89,96655867204° = 89°57'56″ = 1,57113969518 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=8 c=12,81
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+8+12,81=30,81
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=230,81=15,41
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,41(15,41−10)(15,41−8)(15,41−12,81) S=1600=40
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 40=8 vb=b2 S=82⋅ 40=10 vc=c2 S=12,812⋅ 40=6,25
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 12,8182+12,812−102)=51°19′9" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12,81102+12,812−82)=38°38′47" γ=180°−α−β=180°−51°19′9"−38°38′47"=90°2′4"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=15,4140=2,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,597⋅ 15,40510⋅ 8⋅ 12,81=6,41
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 12,812−102=9,437 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 12,812+2⋅ 102−82=10,773 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 82−12,812=6,401
Vypočítat další trojúhelník