Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10,23
b = 13
c = 6

Obsah trojúhelníku: S = 29,86105713291
Obvod trojúhelníku: o = 29,23
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,615

Úhel ∠ A = α = 49,9655359093° = 49°57'55″ = 0,87220600281 rad
Úhel ∠ B = β = 103,35109354125° = 103°21'3″ = 1,8043814108 rad
Úhel ∠ C = γ = 26,68437054945° = 26°41'1″ = 0,46657185175 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,83878438571
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,59439340506
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,95435237764

Těžnice: t_a = 8,73770919075
Těžnice: t_b = 5,29987215439
Těžnice: t_c = 11,30660359985

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,04331454895
Poloměr opsané kružnice: R = 6,68105486674

Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[-2,36222583333; 9,95435237764]
Těžiště: T[1,21325805556; 3,31878412588]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 5,96990644575]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,615; 2,04331454895]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,0354640907° = 130°2'5″ = 0,87220600281 rad
∠ B' = β' = 76,64990645875° = 76°38'57″ = 1,8043814108 rad
∠ C' = γ' = 153,31662945055° = 153°18'59″ = 0,46657185175 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10, 23 b = 13 c = 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10, 23 + 13 + 6 = 29, 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 , 2 3}{2} = 14, 62

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 62 (14, 62 - 10, 23) (14, 62 - 13) (14, 62 - 6) S = 891, 65 = 29, 86

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{1 0 , 2 3} = 5, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{1 3} = 4, 59 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{6} = 9, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 6 ^{2} - 1 0 , 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 6}) = 49 ° 5 7^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 , 2 3 ^{2} + 6 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 2 3 \cdot 6}) = 103 ° 2 1^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 5 7^{'} 55 " - 103 ° 2 1^{'} 3 " = 26 ° 4 1^{'} 1 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 , 8 6}{1 4 , 6 2} = 2, 04

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 , 2 3 \cdot 1 3 \cdot 6}{4 \cdot 2 , 0 4 3 \cdot 1 4 , 6 1 5} = 6, 68

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 0 , 2 3 ^{2}}{2} = 8, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 299 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 11, 306

Vypočítat další trojúhelník