Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10,29
b = 27,86
c = 30,86

Obsah trojúhelníku: S = 142,25989213847
Obvod trojúhelníku: o = 69,01
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,505

Úhel ∠ A = α = 19,32550628117° = 19°19'30″ = 0,33772859742 rad
Úhel ∠ B = β = 63,63545585726° = 63°38'4″ = 1,11106325651 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,04403786157° = 97°2'25″ = 1,69436741142 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 27,65499361292
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,21224135955
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,22196319757

Těžnice: t_a = 28,94545776442
Těžnice: t_b = 18,3054834061
Těžnice: t_c = 14,24659450371

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,12328494822
Poloměr opsané kružnice: R = 15,54772257871

Souřadnice vrcholů: A[30,86; 0] B[0; 0] C[4,57697359041; 9,22196319757]
Těžiště: T[11,8109911968; 3,07332106586]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15,43; -1,90656048057]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,645; 4,12328494822]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,67549371883° = 160°40'30″ = 0,33772859742 rad
∠ B' = β' = 116,36554414274° = 116°21'56″ = 1,11106325651 rad
∠ C' = γ' = 82,96596213843° = 82°57'35″ = 1,69436741142 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10, 29 b = 27, 86 c = 30, 86

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10, 29 + 27, 86 + 30, 86 = 69, 01

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9 , 0 1}{2} = 34, 51

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 51 (34, 51 - 10, 29) (34, 51 - 27, 86) (34, 51 - 30, 86) S = 20237, 6 = 142, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{1 0 , 2 9} = 27, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{2 7 , 8 6} = 10, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{3 0 , 8 6} = 9, 22

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 , 8 6 ^{2} + 3 0 , 8 6 ^{2} - 1 0 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 7 , 8 6 \cdot 3 0 , 8 6}) = 19 ° 1 9^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 , 2 9 ^{2} + 3 0 , 8 6 ^{2} - 2 7 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 2 9 \cdot 3 0 , 8 6}) = 63 ° 3 8^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 1 9^{'} 30 " - 63 ° 3 8^{'} 4 " = 97 ° 2^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 2 , 2 6}{3 4 , 5 1} = 4, 12

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 , 2 9 \cdot 2 7 , 8 6 \cdot 3 0 , 8 6}{4 \cdot 4 , 1 2 3 \cdot 3 4 , 5 0 5} = 15, 55

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 , 8 6 ^{2} - 1 0 , 2 9 ^{2}}{2} = 28, 945 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 2 9 ^{2} - 2 7 , 8 6 ^{2}}{2} = 18, 305 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 7 , 8 6 ^{2} - 3 0 , 8 6 ^{2}}{2} = 14, 246

Vypočítat další trojúhelník