Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 100
b = 90
c = 161,44
Obsah trojúhelníku: S = 4035,72105368932
Obvod trojúhelníku: o = 351,44
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,72
Úhel ∠ A = α = 33,74663378675° = 33°44'47″ = 0,58989847063 rad
Úhel ∠ B = β = 29,99877094999° = 29°59'52″ = 0,52435587988 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,25659526327° = 116°15'21″ = 2,02990491485 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 80,71444107379
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 89,68326785976
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 49,99765378703
Těžnice: ta = 120,75436202356
Těžnice: tb = 126,51765475343
Těžnice: tc = 50,34216487612
Poloměr vepsané kružnice: r = 22,96767683638
Poloměr opsané kružnice: R = 90,00662322649
Souřadnice vrcholů: A[161,44; 0] B[0; 0] C[86,60545391477; 49,99765378703]
Těžiště: T[82,68215130492; 16,66655126234]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[80,72; -39,8177125041]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[85,72; 22,96767683638]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,25436621325° = 146°15'13″ = 0,58989847063 rad
∠ B' = β' = 150,00222905001° = 150°8″ = 0,52435587988 rad
∠ C' = γ' = 63,74440473673° = 63°44'39″ = 2,02990491485 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=100 b=90 c=161,44
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=100+90+161,44=351,44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2351,44=175,72
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=175,72(175,72−100)(175,72−90)(175,72−161,44) S=16287040,25=4035,72
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1002⋅ 4035,72=80,71 vb=b2 S=902⋅ 4035,72=89,68 vc=c2 S=161,442⋅ 4035,72=50
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 161,44902+161,442−1002)=33°44′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 100⋅ 161,441002+161,442−902)=29°59′52" γ=180°−α−β=180°−33°44′47"−29°59′52"=116°15′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=175,724035,72=22,97
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 22,967⋅ 175,72100⋅ 90⋅ 161,44=90,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 161,442−1002=120,754 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 161,442+2⋅ 1002−902=126,517 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1002+2⋅ 902−161,442=50,342
Vypočítat další trojúhelník