Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 101
b = 99
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 990
Obvod trojúhelníku: o = 220
Semiperimeter (poloobvod): s = 110

Úhel ∠ A = α = 90° = 1,57107963268 rad
Úhel ∠ B = β = 78,5798813725° = 78°34'44″ = 1,37114590218 rad
Úhel ∠ C = γ = 11,4211186275° = 11°25'16″ = 0,1999337305 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,6043960396
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 20
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 99

Těžnice: t_a = 50,5
Těžnice: t_b = 53,38877326733
Těžnice: t_c = 99,50437687728

Poloměr vepsané kružnice: r = 9
Poloměr opsané kružnice: R = 50,5

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[20; 99]
Těžiště: T[13,33333333333; 33]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 49,5]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 9]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 90° = 1,57107963268 rad
∠ B' = β' = 101,4211186275° = 101°25'16″ = 1,37114590218 rad
∠ C' = γ' = 168,5798813725° = 168°34'44″ = 0,1999337305 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 101 b = 99 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 101 + 99 + 20 = 220

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2 0}{2} = 110

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 110 (110 - 101) (110 - 99) (110 - 20) S = 980100 = 990

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 9 0}{1 0 1} = 19, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 9 0}{9 9} = 20 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 9 0}{2 0} = 99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 9 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 1 ^{2}}{2 \cdot 9 9 \cdot 2 0}) = 90 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 1 ^{2} + 2 0 ^{2} - 9 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 1 \cdot 2 0}) = 78 ° 3 4^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 90 ° - 78 ° 3 4^{'} 44 " = 11 ° 2 5^{'} 16 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 9 0}{1 1 0} = 9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 1 \cdot 9 9 \cdot 2 0}{4 \cdot 9 \cdot 1 1 0} = 50, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 1 ^{2}}{2} = 50, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 1 ^{2} - 9 9 ^{2}}{2} = 53, 388 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 1 ^{2} + 2 \cdot 9 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 99, 504

Vypočítat další trojúhelník