Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11,2
b = 6,5
c = 8,3

Obsah trojúhelníku: S = 26,73770529416
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 97,61658228711° = 97°36'57″ = 1,70437175111 rad
Úhel ∠ B = β = 35,11662871715° = 35°6'59″ = 0,61328948322 rad
Úhel ∠ C = γ = 47,26878899574° = 47°16'4″ = 0,82549803102 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 4,77444737396
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,22767855205
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,44326633594

Těžnice: t_a = 4,92203658401
Těžnice: t_b = 9,30660464215
Těžnice: t_c = 8,16222607162

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,05766963801
Poloměr opsané kružnice: R = 5,65498373374

Souřadnice vrcholů: A[8,3; 0] B[0; 0] C[9,16114457831; 6,44326633594]
Těžiště: T[5,82204819277; 2,14875544531]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,15; 3,83438181932]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,05766963801]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 82,38441771289° = 82°23'3″ = 1,70437175111 rad
∠ B' = β' = 144,88437128285° = 144°53'1″ = 0,61328948322 rad
∠ C' = γ' = 132,73221100426° = 132°43'56″ = 0,82549803102 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11, 2 b = 6, 5 c = 8, 3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11, 2 + 6, 5 + 8, 3 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 11, 2) (13 - 6, 5) (13 - 8, 3) S = 714, 87 = 26, 74

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{1 1 , 2} = 4, 77 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{6 , 5} = 8, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{8 , 3} = 6, 44

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 8 , 3 ^{2} - 1 1 , 2 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3}) = 97 ° 3 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 , 2 ^{2} + 8 , 3 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 , 2 \cdot 8 , 3}) = 35 ° 6^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 97 ° 3 6^{'} 57 " - 35 ° 6^{'} 59 " = 47 ° 1 6^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 7 4}{1 3} = 2, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 , 2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3}{4 \cdot 2 , 0 5 7 \cdot 1 3} = 5, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 3 ^{2} - 1 1 , 2 ^{2}}{2} = 4, 92 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 2 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 9, 306 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 2 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 8 , 3 ^{2}}{2} = 8, 162

Vypočítat další trojúhelník