Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11,31
b = 14
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 79,17699972215
Obvod trojúhelníku: o = 43,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,655
Úhel ∠ A = α = 38,92772640302° = 38°55'38″ = 0,67994089261 rad
Úhel ∠ B = β = 51,05875562427° = 51°3'27″ = 0,89111224645 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,0155179727° = 90°55″ = 1,5711061263 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 143,9999995087
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,31099996031
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,79766663579
Těžnice: ta = 15.11003634062
Těžnice: tb = 13,30325580247
Těžnice: tc = 8,99876691426
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,65659684702
Poloměr opsané kružnice: R = 99,0000003159
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[7,10987805556; 8,79766663579]
Těžiště: T[8,37695935185; 2,93222221193]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -0,0022384426]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,655; 3,65659684702]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,07327359698° = 141°4'22″ = 0,67994089261 rad
∠ B' = β' = 128,94224437573° = 128°56'33″ = 0,89111224645 rad
∠ C' = γ' = 89,9854820273° = 89°59'5″ = 1,5711061263 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11,31 b=14 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11,31+14+18=43,31
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=243,31=21,66
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,66(21,66−11,31)(21,66−14)(21,66−18) S=6267,89=79,17
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=11,312⋅ 79,17=14 vb=b2 S=142⋅ 79,17=11,31 vc=c2 S=182⋅ 79,17=8,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−11,312)=38°55′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11,31⋅ 1811,312+182−142)=51°3′27" γ=180°−α−β=180°−38°55′38"−51°3′27"=90°55"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=21,6679,17=3,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,656⋅ 21,65511,31⋅ 14⋅ 18=9
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−11,312=15,1 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 11,312−142=13,303 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 11,312+2⋅ 142−182=8,998
Vypočítat další trojúhelník