Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 115
b = 90
c = 119,89

Obsah trojúhelníku: S = 4874,47656529788
Obvod trojúhelníku: o = 324,89
Semiperimeter (poloobvod): s = 162,445

Úhel ∠ A = α = 64,62331988361° = 64°37'24″ = 1,12878875929 rad
Úhel ∠ B = β = 44,99989575819° = 44°59'56″ = 0,78553799698 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,3787843582° = 70°22'40″ = 1,2288325091 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 84,7733489617
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 108,32216811773
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 81,31658003666

Těžnice: t_a = 89,05436694921
Těžnice: t_b = 108,50994744711
Těžnice: t_c = 84,07879220426

Poloměr vepsané kružnice: r = 30,00769294406
Poloměr opsané kružnice: R = 63,64107681738

Souřadnice vrcholů: A[119,89; 0] B[0; 0] C[81,31987592793; 81,31658003666]
Těžiště: T[67,07695864264; 27,10552667889]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[59,945; 21,37215780594]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[72,445; 30,00769294406]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 115,37768011639° = 115°22'36″ = 1,12878875929 rad
∠ B' = β' = 135,00110424181° = 135°4″ = 0,78553799698 rad
∠ C' = γ' = 109,6222156418° = 109°37'20″ = 1,2288325091 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 115 b = 90 c = 119, 89

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 115 + 90 + 119, 89 = 324, 89

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 4 , 8 9}{2} = 162, 45

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 162, 45 (162, 45 - 115) (162, 45 - 90) (162, 45 - 119, 89) S = 23760512, 89 = 4874, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{1 1 5} = 84, 77 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{9 0} = 108, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{1 1 9 , 8 9} = 81, 32

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 1 1 5 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 1 9 , 8 9}) = 64 ° 3 7^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 5 ^{2} + 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 5 \cdot 1 1 9 , 8 9}) = 44 ° 5 9^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 3 7^{'} 24 " - 44 ° 5 9^{'} 56 " = 70 ° 2 2^{'} 40 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8 7 4 , 4 8}{1 6 2 , 4 5} = 30, 01

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 5 \cdot 9 0 \cdot 1 1 9 , 8 9}{4 \cdot 3 0 , 0 0 7 \cdot 1 6 2 , 4 4 5} = 63, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 1 1 5 ^{2}}{2} = 89, 054 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 8 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 5 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 108, 509 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 9 , 8 9 ^{2}}{2} = 84, 078

Vypočítat další trojúhelník